数学家的故事 章节目录 第6章 “中国古代数学理论奠基人”刘徽


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    《九章算术》是中国古代第一部数学专著，总结了战国、秦汉时期的数学研究成果，涉及分数四则运算法则、盈不足术、开方法则、线性方程组解法、正负数加减法则等领先世界几百年甚至上千年的数学成就。

    但《九章算术》也有它的缺陷，比如其中有些分类不尽合理，也没有定义和推导、证明的过程，这就为刘徽留下了发展的空间。刘徽为《九章算术》作注，并弥补了书中的不足，《九章算术注》可以说是刘徽在数学研究上的代表作。

    在《九章算术注》中刘徽证明了阳马和鳖膜的体积公式，这被看作刘徽的一大贡献。阳马和鳖膜是中国古代多面体分割中的概念。

    将一个长方体沿相对的两个棱剖开，得到两个楔形体，我国古代称为“堑堵”。将堑堵从一个顶点到底面的一边剖开，可得到一个锥体，其中高的垂足在底面的一角上称为“阳马”，剩下的四面皆为直角三角形的四面体就是鳖膜。

    刘徽运用极限思想和无穷小分割方法证明了二者的体积公式，并提出了一个重要原理:“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腴。阳马居二，鳖膜居一，不易之率也。”因为这个原理是刘徽证明出来的，人们又将其称为“刘徽原理”。

    此外，刘徽还给出了圆的面积公式的证明方法。《九章算术》只是简单地给出了圆的面积公式:“半周半径相乘得积步。”刘徽则运用极限思想和无穷小的分割方法证明了这个公式。

    他首先从圆的内接正六边形开始割圆，然后将边数逐渐增加，照这样一直分割下去，等到不可割的时候，圆的内接正多边形就和圆合二为一了。然后他将这个正多边形分割成以圆心为顶点，以每条边为底的等腰三角形，这些等腰三角形的高和底相

    本身面积的两倍，因此，将它们全部相加便是圆的面积的两倍。而这些等腰三角形的底边之和便是圆的周长，因此，圆的面积就等于圆的周长的一半乘以半径。

    此外，刘徽还将圆周率精确到了小数点后二位。

    和证明圆的面积一样，刘徽从直径为2尺的圆的内接正六边形开始割圆，利用勾股定理计算出各多边形的边长以及正192边形的面积的整数部分314寸2分作为圆面积的近似值，然后代入圆的面积公式中，可以得出圆周长的近似值为6尺2寸8分，再用它除以圆的直径2尺，得到的数值就相当于3.14。

    除了这些证明，刘徽还对传统的率概念和齐同理论进行发展，并称它们为“算之纲纪”;他还在数学史上首创极限思想和无穷小的分割方法;他以演绎逻辑为主，论证《九章算术》中的算法，为中国传统数学奠定了理论基础。

    刘徽将他的一生贡献给了数学，不断在数学世界中探索，对我国乃至世界数学的发展产生了深远影响，20世纪末世界上掀起的“刘徽热”便是对刘徽这位数学家的最大肯定。
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